\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第九章\quad 多元函数微分法及其应用 }
\renewcommand{\mysubtitle}{第七节\quad 方向导数与梯度}
\graphicspath{ {./images/} }
\newcommand{\grad}{\mathrm{\symbf{grad}}}
\begin{document}



\section{方向导数}

\begin{frame}{方向导数}
  \pause
偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。 但许多物理现象告诉我们， 只考虑函数沿坐标轴方向的变化率不够。 因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。

\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-49}
\caption*{图 9-9}
\end{wrapfigure}

设 $l$ 是 $x O y$ 平面上以 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为始点的一条射线， $\symbf{e}_{l}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ 是与 $l$ 同方向的单位向量 (图 9-9). 
\pause
射线 $l$ 的参数方程为
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    x=x_{0}+t \cos \alpha, \\
  y=y_{0}+t \cos \beta
\end{array} \quad(t \geqslant 0) .\right.
\]

\pause
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域
 $U\left(P_{0}\right)$ 内有定义， $P\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)$ 为 $l$ 上另一点， 且 $P \in U\left(P_{0}\right)$. 如果函数增量 $f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $P$ 到 $P_{0}$ 的距离 $\left|P P_{0}\right|=t$ 的比值
 \[
 \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}
 \]
 \pause
 当 $P$ 沿着 $l$ 趋于 $P_{0}$ (即 $t \rightarrow 0^{+}$) 时的极限存在， 那么称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 沿方向 $l$ 的\emph{方向导数}， 记作 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$, 即
   \[\tag{7-1}
     \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}
   \]
 \end{frame}

 \begin{frame}
   从方向导数的定义可知， 方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ 就是函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处沿方向 $l$ 的变化率。 
\pause
     若函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的偏导数存在， $\symbf{e}_{l}=i=(1,0)$, 则
     \[
       \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+t, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)
     \]
   又若 $\symbf{e}_{l}=\symbf{j}=(0,1)$, 则
   \[
     \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+t\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)
   \]
   \pause
   但反之， 若 $\symbf{e}_{l}=i,\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ 存在， 则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ 未必存在。
\pause
       例如， $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在点 $O(0,0)$ 处沿 $l=i$ 方向的方向导数 $\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(0,0)}=1$, 而偏导数 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)}$ 不存在。

           ~

 \pause
 关于方向导数的存在及计算， 我们有以下定理：
\end{frame}


 \begin{frame}
        \begin{theorem*}
        若函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微分， 则函数在该点沿任一方向 $l$ 的方向导数存在， 且
        \[\tag{7-2}\color{red}
          \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta
        \]
      其中 $\cos \alpha$ 和 $\cos \beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦。
  \end{theorem*}
  \pause
\begin{proof}
由假设， $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微分， 故有
\[
f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\right) .
\]
但点 $\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)$ 在以 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为始点的射线 $l$ 上时， 应有 $\Delta x=t \cos \alpha, \Delta y=t \cos \beta$, $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=t$. 所以

\[
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta .
\]
这就证明了方向导数存在， 且其值为
\[
  \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta.
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
求函数 $z=x \mathrm{e}^{2 y}$ 在点 $P(1,0)$ 处沿从点 $P(1,0)$ 到点 $Q(2,-1)$ 的方向的方向导数。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  这里方向 $l$ 即向量 $\overrightarrow{P Q}=(1,-1)$ 的方向， 与 $l$ 同向的单位向量为 $\symbf{e}_{l}=$ $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
因为所给函数可微分， 且
\[
  \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=\left.\mathrm{e}^{2 y}\right|_{(1,0)}=1,\left.\quad \frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,0)}=\left.2 x \mathrm{e}^{2 y}\right|_{(1,0)}=2
      \]
    故所求方向导数为
    \[
      \left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,0)}=1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}+2 \times\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
    \]
  \end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
对于三元函数 $f(x, y, z)$ 来说， 它在空间一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 沿方向 $\symbf{e}_{l}=(\cos \alpha$, $\cos \beta, \cos \gamma)$ 的方向导数为
\[\tag{7-3}
  \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta, z_{0}+t \cos \gamma\right)-f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}{t} .
\]

\pause
同样可以证明： 如果函数 $f(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 可微分， 那么函数在该点沿方向 $\symbf{e}_{l}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 的方向导数为
\[\tag{7-4}\color{red}
  \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \beta+f_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \gamma .
\]
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{example}
求 $f(x, y, z)=x y+y z+z x$ 在点 $(1,1,2)$ 沿方向 $l$ 的方向导数，其中 $l$ 的方向角分别为 $60^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
与 $l$ 同向的单位向量
\[
  \symbf{e}_{l}=\left(\cos 60^{\circ}, \cos 45^{\circ}, \cos 60^{\circ}\right)=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]
因为函数可微分，且
\[
  \begin{aligned}
    & f_{x}(1,1,2)=\left.(y+z)\right|_{(1,1,2)}=3, \\
      & f_{y}(1,1,2)=\left.(x+z)\right|_{(1,1,2)}=3, \\
        & f_{z}(1,1,2)=\left.(y+x)\right|_{(1,1,2)}=2 .
      \end{aligned}
  \]
由公式(7-4), 得
\[
  \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(1,1,2)}=3 \times \frac{1}{2}+3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}+2 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+3 \sqrt{2}) .
\]
\end{solution}
\end{frame}


\section{梯度}

\begin{frame}{梯度}

  \pause
与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度。 
\pause
在二元函数的情形， 设函数 $f(x, y)$在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数， 则对于每一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$, 都可定出一个向量
\[
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \symbf{i}+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \symbf{j} ,
\]
这向量称为函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的\emph{梯度}， 记作 $\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 或 $\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 即
\[\color{red}
\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \symbf{i}+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \symbf{j}
\]
其中 
\[\color{red}
  \nabla=\frac{\partial}{\partial x} \symbf{i}+\frac{\partial}{\partial y} \symbf{j}
\]
称为 (二维的) \emph{向量微分算子}或 \emph{Nabla 算子}， $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x} \symbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \symbf{j}$.

\pause
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微分， $\symbf{e}_{l}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ 是与方向 $l$ 同向的单位向量，那么
\[\color{red}
  \begin{aligned}
    \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)} & =f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta \\
    & =\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot \symbf{e}_{l}=\left|\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \cos \theta
\end{aligned}
\]
其中 $\theta=\left(\widehat{\grad  f(x_{0}, y_{0}, \symbf{e}_{l}}\right)$.
\end{frame}

\begin{frame}
这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系。 特别，由这关系可知：

\pause
\begin{enumerate}
  \item 当 $\theta=0$, 即方向 $\symbf{e}_{l}$ 与梯度 $\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的方向相同时， 函数 $f(x, y)$ 增加最快。 此时， 函数在这个方向的方向导数达到最大值， 这个最大值就是梯度 $\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)$的模， 即
    \[
      \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left|\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|
    \]
  这个结果也表示： 函数 $f(x, y)$ 在一点的梯度 $\grad  f$ 是这样一个向量， 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向， 它的模就等于方向导数的最大值。

  \pause
\item 当 $\theta=\pi$, 即方向 $\symbf{e}_{l}$ 与梯度 $\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的方向相反时， 函数 $f(x, y)$ 减少最快， 函数在这个方向的方向导数达到最小值， 即
  \[
    \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=-\left|\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|
  \]

  \pause 
\item 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$, 即方向 $\symbf{e}_{l}$ 与梯度 $\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的方向正交时， 函数的变化率为零， 即
  \[
    \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left|\grad  f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \cos \theta=0
  \]
\end{enumerate}
\end{frame}


\begin{frame}
我们知道，一般说来二元函数 $z=f(x, y)$ 在几何上表示一个曲面， 这曲面被平面 $z=c$ ( $c$ 是常数) 所截得的曲线 $L$ 的方程为
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    z=f(x, y) \\
  z=c
\end{array}\right.
\]
这条曲线 $L$ 在 $x O y$ 面上的投影是一条平面曲线 $L^{*}($ 图 9-10), 它在 $x O y$ 平面直角坐标系中的方程为
\pause
\[
f(x, y)=c .
\]
对于曲线 $L^{*}$ 上的一切点， 已给函数的函数值都是 $c$, 所以我们称平面曲线 $L^{*}$ 为函数 $z=f(x, y)$ 的\emph{等值线}。

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[max width=.4\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-53(1)}
\caption*{图 9-10}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}
若 $f_{x}, f_{y}$ 不同时为零， 则等值线 $f(x, y)=c$ 上任一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的一个单位法向
量为
\[
\symbf{n}=\frac{1}{\sqrt{f_{x}^{2}\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{y}^{2}\left(x_{0}, y_{0}\right)}}\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)=\frac{\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\left|\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|} .
\]
\pause
这表明函数 $f(x, y)$ 在一点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的梯度 $\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的方向就是等值线 $f(x, y)=c$ 在这点的法线方向 $\symbf{n}$, 而梯度的模 $\left|\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|$ 就是沿这个法线方向的方向导数 $\frac{\partial f}{\partial \symbf{n}}$, 于是有
\[
  \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial \symbf{n}} \symbf{n}.
\]
\end{frame}

\begin{frame}
上面讨论的梯度概念可以类似地推广到三元函数的情形。 
\pause
设函数 $f(x, y, z)$ 在空间区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数， 则对于每一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in G$, 都可定出一个向量
\[
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \symbf{i}+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \symbf{j}+f_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \symbf{k}
\]
这向量称为函数 $f(x, y, z)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的\emph{梯度}， 将它记作 $\grad  f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 或 $\nabla f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$, 即
\[
  \grad  f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\nabla f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \symbf{i}+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \symbf{j}+f_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \symbf{k},
\]
其中
\[
  \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \symbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\symbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\symbf{k}
\]
称为（三维的）\emph{向量微分算子}或\emph{Nabla算子}，$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x} \symbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\symbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\symbf{k}$. 

\pause
经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知， 三元函数 $f(x, y, z)$ 在一点的梯度 $\nabla f$ 是这样一个向量， 它的方向是函数 $f(x, y, z)$ 在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。

\pause
如果引进曲面
\[
f(x, y, z)=c
\]
为函数 $f(x, y, z)$ 的\emph{等值面}的概念， 那么可得函数 $f(x, y, z)$ 在一点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的梯度 $\nabla f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的方向就是等值面 $f(x, y, z)=c$ 在这点的法向量 $\symbf{n}$, 而梯度的模
$\left|\nabla f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right|$ 就是函数沿这个法向量的方向导数 $\frac{\partial f}{\partial \symbf{n}}$.
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  求 $\grad  \frac{1}{x^{2}+y^{2}}$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
这里 $f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$. 因为
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2 x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
\]
所以
\[
\grad  \frac{1}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{2 x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} i-\frac{2 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} j .
\]
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  设 $f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$, 点 $P_{0}(1,1)$, 求：

(1) $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处增加最快的方向以及 $f(x, y)$ 沿这个方向的方向导数;

(2) $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处减少最快的方向以及 $f(x, y)$ 沿这个方向的方向导数;

(3) $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处的变化率为零的方向。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
(1) $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处沿 $\nabla f(1,1)$ 的方向增加最快，
\[
  \nabla f(1,1)=\left.(x \symbf{i}+y \symbf{j})\right|_{(1,1)}=\symbf{i}+\symbf{j},
\]
故所求方向可取为
\[
  \symbf{n}=\frac{\nabla f(1,1)}{|\nabla f(1,1)|}=\frac{1}{\sqrt{2}} \symbf{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \symbf{j}
\]
方向导数为
\[
  \left.\frac{\partial f}{\partial \symbf{n}}\right|_{(1,1)}=|\nabla f(1,1)|=\sqrt{2}
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{solution}[续]
(2) $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处沿 $-\nabla f(1,1)$ 的方向减少最快， 这方向可取为
\[
  \symbf{n}_{1}=-\symbf{n}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \symbf{i}-\frac{1}{\sqrt{2}} \symbf{j},
\]
方向导数为
\[
  \left.\frac{\partial f}{\partial \symbf{n}_{1}}\right|_{(1,1)}=-|\nabla f(1,1)|=-\sqrt{2} .
\]

(3) $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处沿垂直于 $\nabla f(1,1)$ 的方向变化率为零， 这方向是
\[
  \symbf{n}_{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \symbf{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \symbf{j} \quad\text { 或 } \quad
  \symbf{n}_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}} \symbf{i}-\frac{1}{\sqrt{2}} \symbf{j} .
\]
  \end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
   设 $f(x, y, z)=x^{3}-x y^{2}-z$, 点 $P_{0}(1,1,0)$. 问 $f(x, y, z)$ 在点 $P_{0}$ 处沿什么方向变化最快，在这个方向的变化率是多少?
  \end{example}
  \pause
 \begin{solution}
  $\nabla f=f_{x} \symbf{i}+f_{y} \symbf{j}+f_{z} \symbf{k}=\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \symbf{i}-2 x y \symbf{j}-\symbf{k}, \nabla f(1,1,0)=2 \symbf{i}-2 \symbf{j}-\symbf{k}$.
 $f(x, y, z)$ 在点 $P_{0}$ 处沿 $\nabla f(1,1,0)$ 的方向增加最快， 沿一 $\nabla f(1,1,0)$ 的方向减少最快，在这两个方向的变化率分别是
  \[
     \begin{aligned}
       |\nabla f(1,1,0)|&= \sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1}=3, \\
       -|\nabla f(1,1,0)|&= -3 .
      \end{aligned}
     \]
    \end{solution}
  \end{frame}

  \begin{frame}
    \begin{example}
       求曲面 $x^{2}+y^{2}+z=9$ 在点 $P_{0}(1,2,4)$ 的切平面和法线方程。
      \end{example}
\pause
     \begin{solution}
       设 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z$. 由梯度与等值面的关系可知， 梯度
       \[
           \left.\nabla f\right|_{P_{0}}=\left.(2 x \symbf{i}+2 y \symbf{j}+\symbf{k})\right|_{(1,2,4)}=2 \symbf{i}+4 \symbf{j}+\symbf{k}
                 \]
                 的方向是等值面 $f(x, y, z)=9$ 在点 $P_{0}$ 的法线方向， 因此切平面方程是
                 \[
                   2(x-1)+4(y-2)+(z-4)=0,
               \]
             即
             \[
             2 x+4 y+z=14,
         \]
       曲面在点 $P_{0}$ 处的法线方程是
       \[
         x=1+2 t, y=2+4 t, z=4+t \quad (\text{其中$t$ 为任意常数}).
     \]
 \end{solution}
 \end{frame}

 \begin{frame}
  下面我们简单地介绍数量场与向量场的概念。

  ~

 如果对于空间区域 $G$ 内的任一点 $M$, 都有一个确定的数量 $f(M)$, 那么称在这空间区域 $G$ 内确定了一个\emph{数量场} (例如温度场、密度场等).一个数量场可用一个数量函数 $f(M)$ 来确定。 如果与点 $M$ 相对应的是一个向量 $\symbf{F}(M)$, 那么称在这空间区域 $G$ 内确定了一个\emph{向量场} (例如力场、速度场等). 一个向量场可用一个向量值函数 $\symbf{F}(M)$ 来确定，而
 \[
 \symbf{F}(M)=P(M) \symbf{i}+Q(M) \symbf{j}+R(M) \symbf{k}
 \]
 其中 $P(M), Q(M), R(M)$ 是点 $M$ 的数量函数。

 ~

 若向量场 $\symbf{F}(M)$ 是某个数量函数 $f(M)$ 的梯度， 则称 $f(M)$ 是向量场 $\symbf{F}(M)$ 的一个\emph{势函数}， 并称向量场 $\symbf{F}(M)$ 为\emph{势场}。 由此可知， 由数量函数 $f(M)$ 产生的梯度场 $\grad  f(M)$ 是一个势场。 但需注意， 任意一个向量场并不一定都是势场， 因为它不一定是某个数量函数的梯度。
 \end{frame}
 \begin{frame}
  \begin{example}
   试求数量场 $\frac{m}{r}$ 所产生的梯度场， 其中常数 $m>0, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 为原点 $O$ 与点 $M(x, y, z)$ 间的距离。
  \end{example}
 \begin{solution}
    \[
      \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m}{r^{2}} \frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{m x}{r^{3}},
      \]
     同理
    \[
     \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m y}{r^{3}}, \quad \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m z}{r^{3}} .
    \]
   从而
  \[
    \grad  \frac{m}{r}=-\frac{m}{r^{2}}\left(\frac{x}{r} \symbf{i} +\frac{y}{r} \symbf{j} +\frac{z}{r} \symbf{k}\right)
  \]

  如果用 $\symbf{e}_{r}$ 表示与 $\overrightarrow{O M}$ 同方向的单位向量，那么
  \[
    \symbf{e}_{r}=\frac{x}{r} \symbf{i}+\frac{y}{r} \symbf{j}+\frac{z}{r} \symbf{k}
  \]
 因此
  \[
    \grad  \frac{m}{r}=-\frac{m}{r^{2}} \symbf{e}_{r}.
  \]
  \end{solution}

\end{frame}

\begin{frame}
    上式右端在力学上可解释为， 位于原点 $O$ 而质量为 $m$ 的质点对位于点 $M$ 而质量为 $1$ 的质点的引力。 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距离平方成反比， 这引力的方向由点 $M$ 指向原点。 因此数量场 $\frac{m}{r}$ 的势场， 即梯度场 $\grad  \frac{m}{r}$, 称为\emph{引力场}， 而函数 $\frac{m}{r}$ 称为\emph{引力势}。

\end{frame}
  \end{document}

